Algebraiska ekvationer

Detta inlägget är för er som tycker Algebra och att lösa algebraiska ekvationer känns svårt.

Vi kommer i det här inlägget gå igenom 3 olika typer av ekvationer och lösa dem steg för steg samt förklara i detalj varje steg, sen kommer vi även kolla på ”genvägar” man kan ta senare efter man bemästrat grunderna för att ”spara rader” i anteckningsblocket. Så låt oss sätta igång!

Vi börjar med en ganska simpel ekvation som ni kan se nedan:

\[ x + 5 = 2x – 1 \]

En sak som för de flesta säkert är självklart är att där står 1*x där ni ser enbart x ovan, efter 1* något = något så behöver man inte skriva ut 1* framför x:et. Vi har 1 enstaka x helt enkelt!

När vi löser en algebraisk ekvation så vill vi ta reda på vad ett x är/vilket värde ett x har.

För att kunna göra detta behöver vi samla x:en på ena sidan och heltalen på den andra sidan om likhetstecknet.

Tips: När ni väljer vilken sida ni vill samla x:en på respektive heltalen, fokusera på x:en och samla så dem blir positiva efter förenkling om möjligt! Detta är för att slippa ett extra steg på slutet som behövs för att göra om annars negativa x till positiva. Det är inget krävande steg men det kan kännas lite enklare att räkna också.

Ibland kan det vara svårt att veta hur man ska börja, speciellt om man inte vet hur man kan flytta något från den ena sidan till den andra, så låt oss titta på detta först.

Om vi utgår från ovan ekvation, och låt säga att vi vill samla x:en på högra sidan om likhetstecknet (för där fanns flest x (2 st.)), då måste vi på något sätt flytta x:et från vänstersidan till högersidan.

Sättet vi gör detta på är helt enkelt att försöka ”ta ut” x:et på den sidan där vi vill få bort det, och detta kan göras med hjälp av motsatt räknesätt (addition motsatt minus, multiplikation motsatt division) och samma antal. För vad händer om vi har ett positivt (+:et är osynligt men finns framför och tillhörande x:et) x på vänstersida om likhetstecknet och vi tar motsatt räknesätt, i vårt fall blir motsatt räknesätt subtraktion, och antalet x vi har på vänstersidan är ett, så vi lägger in -x på vänstersidan så vi får följande ekvation:

\[ x+5-x = 2x-1 \]

Några saker är värda att nämna här dock innan vi går vidare!

1. Nu har vi lagt till -x på vänstersidan då +x-x = 0 vilket gör att vårt x ”försvinner” från vänstersidan
2. Dock! Får vi inte lämna det såhär! Vi får INTE lov att lägga till något på ena sidan utan att göra exakt samma på andra sidan! Varför inte det då? Jo för likhetstecknet (=) som finns mellan vänstersidan och högersidan innebär att allting som står på vänster sida är lika mycket värt som det som står på höger sida, oavsett hur det ser ut på de olika sidorna och vilka bokstäver och siffror som står där. Tänk dig om det hade stått 3 = 5 <- det kan ju inte stämma, för vi vet ju att 3 omöjligt är samma sak som 5, de har helt enkelt inte samma värde. Samma sak gäller här i våra algebraiska ekvationer, enda skillnaden är att våra bokstäver representerar och motsvarar siffror som vi ännu inte vet vad de är. Och om vi då lägger till -x på vänstersidan, men inte gör samma på högersidan, så har vi helt plötsligt ändrat värdet på vänstra sidan, medan högra sidan har kvar samma värde som tidigare, vilket innebär att vänstra sidan inte är lika med högra sidan längre! För att behålla samma värde på båda sidor om likhetstecknet så måste vi göra samma sak på båda sidorna när vi gör något i ekvationen!

Ovan punkter innebär att när vi lägger till -x på vänstersidan, så måste vi göra exakt samma på högersidan, och vi får då:

\[ x+5-x = 2x-1-x \]

Ett annat Tips och en sak värd att lägga märke till i hur vi skriver ekvationerna ovan är att vi behåller ordningen våra bokstäver och siffror låg i från början, detta för att dels undvika förvirring men även för att göra det lätt för både dig och eventuell lärare att följa med i vad du gör när du löser dina ekvationer! Detta är dock absolut inget krav, du kan skriva både tal och bokstäver i vilken ordning du vill så länge tecknen framför talen och bokstäverna är korrekta!

Nu är det dags för oss att förenkla båda våra sidor/räkna ut vad vi får efter att vi lagt till -x på båda sidorna. Och här kan du göra som så att du börjar räkna ut det på vänster (eller höger) sida först på en rad, och sen på ny rad gör det på andra sidan, eller så räknar du ut/förenklar båda sidorna samtidigt! Vi kommer demonstrera båda exemplen nedan för att visa hur vi menar (enda skillnaden är att det ena alternativet besparar dig 1 rad i ditt anteckningsblock, men båda funkar precis lika bra).

Exempel 1: Börja förenkla/räkna ut vänster sidan (kan lika gärna vara höger du börjar med, det spelar ingen roll, men i vårt exempel har vi valt vänster):

\[ x+5-x = x-x+5 = 0+5 = 5 \]

Notera att varje bokstav och tal har ett tecken som tillhör talet/bokstaven som står precis framför det! Så i ovan uträkning där vi varit övertydliga så finns där ett osynligt plus-tecken framför vårt första x även om det inte syns!

Därefter gör vi samma sak för högersidan:

\[ 2x-1-x = 2x-x-1 = x-1 \]

Ovan uträkningar är extremt detaljerade i förklarande syfte, hade vi löst detta på anteckningsblock hade vi kanske skrivit så här istället för första steget/första raden när vi tar 1 sida i taget:

\[ 5 = 2x-1-x \]

Så istället för att övertydligt förklara addition och subtraktion för oss själva och eventuell lärare, så gör vi uträkningen på direkten och får vår 5:a som vi skriver på vänster sida. Sen på nästa rad fortsätter vi med att räkna ut högersidan och får då följande i anteckningsblocket:

\[ 5 = x-1 \]

Hade vi istället gjort båda dessa uträkningar på 1 rad istället för 2 så hade vi fått följande på direkten och på så vis ”sparat” 1 rad i ekvationslösningen och kanske även snabbat upp processen (notera att ”skippa rader” för att snabba upp processen rekommenderas bara när du fullt ut förstår allt som händer när du skippar vissa rader och gör fler saker samtidigt på 1 och samma rad, skippa bara rader om du känner att du behärskar det, du får rätt oavsett hur många rader du använder, men på prov t ex. kan det vara bra att ha den grundläggande förståelsen så man känner sig säker nog att kunna skippa rader och spara både tid och utrymme i anteckningsblocket).

När vi nu sen har då ovan ekvation är nästa steg sen att samla heltalen på en sida precis såsom vi gjorde för x:en. Vi kommer använda oss av samma metod som vi gjorde för x:en och se ”hur kan vi få bort heltalen från en sida så x står ensamt”. Och detta gjorde vi då med att använda motsatt räknesätt och samma antal som det vi vill få bort/flytta.

I vårt fall ovan så har vi -1 heltal kvar på sidan med x:et, och detta vill vi ”flytta över” till vänstra sidan, så vi gör på samma sätt som vi gjorde för x:en, se nedan:

\[ 5+1 = x-1+1 \]

Nu har vi alltså lagt till +1 på högersidan för att få 0 på våra heltal på sidan med x:et, och då måste vi göra samma sak på vänstersidan och lägga till +1 även där, för att som sagt behålla samma värde på båda sidor om likhetstecknet så att ekvationen inte förändras utan är samma som vi hade i början!

Nästa steg sen igen är att räkna ut/förenkla så då gör vi det 🙂 Och kvar har vi sen:

\[ 6 = x \]

Nu hamnade vårt x på högersidan, vilket är helt OK, men om ni skulle föredra att skriva på det ”vanliga sättet” att x= så kan ni helt enkelt bara byta plats på x:et och 6:an, för värdet behålls ju då samma, så vi får:

\[ x=6 \]

Vill man få den matematiska förklaringen bakom ovan ”platsbyte” så är det precis samma sätt som ovan, med en lite mer ”avancerad twist” på slutet där vi multiplicerar med -1 (lite överkurs) för att få positiva tal.

I utbildande syfte och för de av er som är intresserade av lite extra visar vi hur det går till rent matematiskt nedan:

Steg 1:

\[ 6=x \]

Steg 2 – Flytta båda sidor med varandra samtidigt (tidigare gjorde vi en sida i taget men det hade sett lite konstigt ut här):

\[ 6-6-x = x-x-6 \]

Steg 3 – Förenklat:

\[ -x = -6 \]

Steg 4 – Gör x positivt:

\[ -x * (-1) = -6 * (-1) \]

Repetition: För er nu som kommer ihåg multiplikationsregler för tal med olika tecken så kanske ni minns att minus * minus = plus och minus * plus = minus, se nedan för repetition:

Minus * Plus = Minus / Negativt * Positivt = Negativt:

\[ -1*2 = -2 \]

Minus * Minus = Plus / Negativt * Negativt = Positivt:

\[ -1*(-1) = 1 \]

Steg 5 – Förenkla gör x positivt (vänster sida):

\[ -x * (-1) = x \]

Steg 5 – Förenkla gör x positivt (höger sida):

\[ -4 * (-1) = 4 \]

Steg 5 – Förenkla gör x positivt (båda sidor tillsammans efter förenkling):

\[ x = 4 \]

Där var vi då alltså klara med vår första algebraiska ekvation, hoppas det gått hyfsat smidigt att hänga med 🙂 Ni får gärna mejla in frågor om ni skulle undra något, svarar så gott vi kan.

Vi fortsätter med en ”oförenklad” ekvation där vi först måste snygga till den lite genom att räkna ut/förenkla innan vi börjar lösa den, se nedan:

\[ 2+3x-x = x+5 \]

I ovan ekvation så är ekvationen inte ännu förenklad på vår vänstersida, så vi behöver förenkla vänstersidan så långt vi kan först och då får vi på vänstersidan:

\[ 2+3x-x = 2+2x \]

Skriver vi nu hela ekvationen igen med vår förenklade vänstersida så har vi:

\[ 2+2x=x+5 \]

Nu kan vi börja lösa den med ovan steg, vi börjar med att göra samma som ovan för att flytta heltalen till en sida först denna gången, vi väljer att samla dem på högersidan då vi har störst heltal där (kvittar dock egentligen, hade lika gärna kunnat samla de på vänstersidan, upp till dig vad du föredrar), och då måste vi ju ”få bort” heltal från vänstersidan och ”få in” dem på högersidan:

\[ 2+2x-2 = x+5-2 \]

Detta ger oss då:

\[ 2x = x+5-2 \]

Som vi räknar ut till:

\[ 2x = x+3 \]

Härnäst vill vi flytta över x:en till samma sida på samma sätt:

\[ 2x-x = x+3-x \]

Detta ger oss:

\[ x=3 \]

Voíla, där var vi klara med den 🙂

Sista exemplet vi tänkte ta upp kan förekomma ibland och visar på en lite klurigare algebraisk ekvation som kan vara bra att känna till hur man svarar på:

\[ x+2=x-1 \]

Vi sätter igång direkt och försöker lösa denna på samma sätt som de två tidigare ovan, samla bokstäverna på en sida, och talen på den andra, här börjar vi med heltalen igen:

\[ x+2+1=x-1+1 \]

\[ x+3=x \]

Sen (försöker vi) flytta x:en:

\[ x+3-x=x-x \]

\[ 3 = 0 \]

Minns ni när vi tidigare sade att 3=5 inte stämde för 3 uppenbarligen inte är samma som 5? Nu hamnade vi i exakt den situationen. Så hur svarar man på en sån uppgift om man hade fått det i boken eller på ett prov? Kollar ni facit så kommer där stå något i stil med ”Saknar lösning”, för en sådan algebraisk ekvation går ej att lösa! Så rätt svar är alltså ”Saknar lösning”.

Så nu vet ni det också 🙂

Gällande att spara tid när man löser ekvationer genom att ”skippa rader” så är detta något vi endast rekommenderar om ni känner er säkra på alla stegen för att gå från början till slut i ekvationslösningen.

Men ett sätt att spara in rader i anteckningsblocket på och lösa dessa typer av uppgifter betydligt snabbare, är att göra vissa av momenten i huvudet utan att skriva ned det på pappret, de flesta lärare kommer kunna förstå och följa hur ni gått tillväga om ni utelämnar vissa steg som kan tyckas vara ganska uppenbara typ grundläggande addition och subtraktion för att förenkla osv.

Se nedan exempel på en ”snabb” ekvationslösning:

\[ 3x+8=7x-3 \]

Att samla x:en på ena sidan och heltalen på andra sidan samtidigt med hjälp av huvudräkning:

\[ 11=4x \]

Vill man vara lite tydlig kan man också skriva 1 rad där x:en flyttas och 1 rad där heltalen flyttas, som nedan:

\[ 3x+8=7x-3 \]

Låt oss börja med x:en (kör x:en på två rader för att förtydliga för hur vi går tillväga):

\[ 8=7x-3-3x \]

\[ 8=4x-3 \]

Och sen tar vi heltalen:

\[ 8+3=4x \]

\[ 11=4x \]

Upp till er hur ”tydliga” ni känner er säkra med att vara 🙂

Denna ekvation blir lite annorlunda än vad vi haft tidigare, då tidigare har det räckt för oss att använda nästan enbart addition och subtraktion för att lösa, men i denna kommer vi behöva inkludera även division då vi behöver få ut 1 st. enstaka x och vi just nu har 4 st. så då använder vi oss av motsatsen till multiplikation: division:

\[ 11/4 = 4x/4 \]

\[ 11/4 = (4/4)*x \]

\[ 11/4 = 1*x \]

\[ 11/4=x \]

Nu kan vi välja att ge svaret till läraren på två olika sätt, antingen låter vi det vara såhär och ger det ”rationella talet” 11/4 som svar, då detta är helt OK, speciellt om du inte får lov att använda räknare så är detta ditt bästa alternativ, ganska jobbigt och svårt att ta 11/4 i huvudet…

Det andra alternativet är att ange svar (om du får använda räknare) i decimaltal, men detta rekommenderas INTE, av anledning att du kommer behöva avrunda ditt decimaltal, och då svarar du inte exakt på uppgiften, utan du ger bara en uppskattning, så tekniskt sett ger du ett felaktigt svar, då likhetstecknet alltid ska betyda att vänster sida om likhetstecknet har exakt samma värde som högersidan!

Hoppas detta inlägget har hjälpt lite med lösningen av algebraiska ekvationer :D!