Förklaring av Komplexa tal i samband med andragradsekvationer och kvadratrötter

Komplexa tal (eller Imaginära tal som det även är känt som) kan kännas främmande och väldigt förvirrande för många som ska börja räkna med dessa, men är egentligen väldigt enkelt när man väl får förståelse hur man ska göra (som med så mycket annat här i livet).

Vi stötte på en del Komplexa tal– speciellt i samband med Andragradsekvationer– inom Matematik 2b där det kunde användas för att lösa ut negativa tal under rottecknet. Detta är vad vi tänkte gå igenom och förklara i det här inlägget, då vi själva tror- och hoppas att det kan vara behjälpligt och underlätta era matematiska studier.

Innan vi börjar pyssla med Negativa tal under rottecknet– och lösning av dessa rötter med hjälp av Imaginära/Komplexa tal så behöver vi först få en grundläggande förståelse för vad själva konceptet Komplexa tal går ut på!

Komplexa- eller Imaginära tal (olika namn som betyder samma sak) fungerar på följande vis:

\[ i^2 = -1 \]

Det imaginära talet: i, är nog det enda talet i matematiken som upphöjt med två ger ett negativt tal! För att lättare förstå detta kan ni tänka er alla negativa tal som existerar upphöjt med två och se vad svaret blir, se nedan exempel:

\[ (-5)^2=-5*(-5)=25 \]

Känner ni till de grundläggande “teckenbytes-reglerna” vid Multiplikation och Division i matematiken med heltal av lika/olika värden så vet ni säkert att negativa tal multiplicerat (eller dividerat) med negativa tal ger positivt svar, medan negativt tal multiplicerat (eller dividerat) med ett positivt tal ger oss negativt svar. Se nedan exempel för lättare förståelse:

\[ -5*5=-25|-5*(-5)=+25 \]

Vilket innebär att en heltals potens kan aldrig bli negativ när upphöjd med två. Medan Imaginära/Komplexa tal kan! Detta tillåter oss att med hjälp av Imaginära/Komplexa tal kunna lösa rötter med negativa tal som vi ibland kan stöta på när vi hanterar Andragradsekvationer (exempelvis).

För att ge exempel och utöka förståelse för hur detta fungerar och när det blir aktuellt, se nedan:

\[ \pm \sqrt{-4} = \pm \sqrt{-1 * 4} = \pm\sqrt{i^2 * 2^2}=i*2=\pm2i \]

Som ni då kan se så “översätter vi” vårt negativa tal under rottecknet till vad det är när den negativa delen representeras av Komplexa tal, och fortsätter sen till att lösa ut svaret genom att ta roten ur båda våra nya tal som tillsammans byggde upp det negativa talet vi hade från början under rottecknet. Och eftersom dessa båda är upphöjda med två får vi en 2:a (vår bas för potensen) som svar när vi tar kvadratroten ur de båda talen vi hade.

Om ni har svårt att få förståelse hur det kan bli så, kan ni kolla på nedan exempel som förklarar med hjälp av ett alternativt skrivsätt för kvadratroten samt potenslagarna:

\[ \sqrt{i^2}=(i^2)^{1/2}=i^{2*\frac{1}{2}}=i^{\frac{2}{2}}=i^1=i \]

Och även om de är sammanskrivna med multiplikation under rottecknet skall ALLT under rottecknet tas roten ur – vilket innefattar både vårt ​\( i^2 \)​samt vår ​\( 2^2 \).

Hur svarar man då om man inte har ett så “snällt” tal att jobba med som vi hade ovan? T ex. ett tal som inte går jämnt ut när vi tar roten ur det? Se exemplet nedan:

\[ \pm\sqrt{-2}=\pm\sqrt{i^2*2}=\pm\sqrt{i^2}*\sqrt{2}=\pm i*\sqrt2=\pm\sqrt{2}i \]

Då ofta dessa typer av uppgifter efterfrågas att lösas utan räknare för att få förståelse för hur saker och ting hänger ihop, så brukar det vara acceptabelt att svara som ovan där vi behåller roten ur talet 2 istället för att lösa ut det till det jobbiga decimaltal det förmodligen hade blivit.

 

Lämna ett svar

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *