För ett litet tag sen fick jag en intressant fråga om varför man förkortar just ”korsvis” när man räknar multiplikation med bråk på gemensamt bråkstreck.
Just hur man gör det och hur det funkar är det nog många som fått lära sig och känner till, men jag själv personligen har aldrig riktigt funderat på vad bakomliggande anledning är till varför man gör det just korsvis för de scenariona (ibland). Så det är syftet med detta inlägg, att utforska detta lite mer på djupet och förklara svaret såsom känns rimligt att det ligger till 🙂
Efter att ha rådfrågat och diskuterat med god vän och universitetsutbildad matematiker så kändes det som vi hittade förklaringen till detta ”mysterium” 😛
För att förstå denna förklaring som kanske kan anses lite ”överkurs” för vissa så rekommenderas att ni har tidigare erfarenhet av ”faktorisering” som koncept inom matematiken.
Så vad vi kom fram till var att det inte nödvändigtvis behöver vara just ”korsvis”, men snarare att korsvis är ett sätt att göra det på – som dessutom i många fall underlättar och sparar in senare (och potentiellt desto jobbigare) förkortning/förenkling att göra på slutet (som ofta efterfrågas på prov och i uppgifter).
Tidigare när jag sett ett gemensamt bråkstreck så har mitt perspektiv varit fokuserat på de två (eller flera) olika bråktalen, men vad händer om vi skiftar vårt perspektiv och istället fokuserar på täljaren respektive nämnaren var för sig? Helt plötsligt får vi rader med ren multiplikation! Se nedan bilder:
Detta kanske även det känns självklart för många, men det kan hända där är fler som ännu ej fått denna ”Aha”-upplevelse när man granskar ett gemensamt bråkstreck.
Som ni då kan se i ovan visuella illustrationer av olika perspektiv man kan ha, så i det första exemplet ser vi bråktalen även om de står på gemensamt bråkstreck, och i det andra exemplet ser vi täljaren och nämnaren för sig som separata rader med ren multiplikation.
Nu har vi valt ett väldigt snällt exempel ovan där vi faktiskt hade kunnat förkorta både korsvis, men även de egna bråkens täljare och nämnare. Vi hade t ex. kunnat förkorta direkt vår 2/4 till 1/2 såsom ni kan se nedan (genom att dela/dividera) både täljare och nämnare med talet 2 (2/2 = 1 och 4/2 = 2):
\[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Vi hade kunnat göra samma sak för 4/8 där vi antingen kan välja att dela med en mindre gemensam beståndsdel (2) eller med största gemensamma beståndsdel (4) för både täljare och nämnare (notera att om vi väljer att förkorta/dela med mindre gemensam beståndsdel så kan det hända ni får förkorta/dela ytterligare en gång för att nå slutresultat som uppgift/prov frågar efter, så det går att göra helt klart, men det kan också bli en omväg som kräver fler rader i ert anteckningsblock):
\[ \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Notera att när vi pratar om ”beståndsdelar” så syftar vi till faktorer som komponenter i multiplikation.
Men hur hade det då blivit om vi istället hade gjort detta korsvis? Då hade vi istället förkortat vår 4:a från det andra bråktalet i täljaren (där uppe/ovanpå bråkstrecket) med största gemensamma tal (4) för vår nämnare 4:a av vårt första bråktal (där nere till vänster/under bråkstrecket). På samma sätt hade vi förkortat med största gemensamma tal (2) för vår täljare (2) av det första bråktalet (ovanför bråkstrecket uppe till vänster) med nämnaren (8) för vårt andra bråktal (nedanför bråkstrecket till höger), se nedan:
\[ \frac{2/2 * 4/4}{4/4 * 8/2} = \frac{1*1}{1*4}=\frac{1}{4} \]
Hade vi haft fler än 2 bråktal att multiplicera, så hade vi kunnat förkorta varje faktor i täljaren (ovanför bråkstrecket) med varje faktor i nämnaren (under bråkstrecket) där båda faktorer delar en gemensam beståndsdel (t ex. att 2 och 4 båda kan delas med 2/kan byggas upp av multiplikation med talet 2 (2*1 = 2, 2*2 = 4)).
Se nedan exempel:
\[ \frac{2*3*4*5}{10*8*6*4}=\frac{2/2*3/3*4/4*5/5}{10/5*8/4*6/3*4/2}=\frac{1*1*1*1}{2*2*2*2}=\frac{1}{8} \]
För att gå igenom ovan visuella illustration av förkortning/förenkling (division) av flera bråktal på gemensamt bråkstreck vid multiplikation av bråk så kan ni notera flera saker, bland annat att vi valde att förkorta vår 10:a i nämnaren med talet 5 i täljaren (notera också att förkortning ej skett nödvändigtvis strikt ”korsvis” utan snarare lite blandat – vi tog från höger i täljaren och från vänster i nämnaren, och vi hade kunnat blanda det desto mer), vi hade också kunnat förkorta vår 10:a i nämnaren med vår 2:a från täljaren och då fått 1/5.
Både vår 4:a och 2:a i täljaren hade likväl kunnat förkortas mot både vår 8:a såväl som 4:a i nämnaren, ni kan prova själva i ert anteckningsblock och se hur det hade blivit annorlunda om ni är nyfikna 🙂
Men slutsatsen vi drar från detta är att det inte nödvändigtvis handlar om ”korsvis förkortning/förenkling” utan snarare faktor-baserad förkortning/förenkling mellan täljaren och nämnaren för det gemensamma bråkstrecket vid multiplikation av bråk!
Så länge täljare och nämnare har en gemensam faktor som vi kan dela både talet i täljaren såväl som nämnaren med, så är det en förkortning/förenkling som går att göra, sen om det är den bästa förkortningen/förenklingen är lite av en annan femma, där hade vi gett er rådet att noggrant försöka förkorta/förenkla de faktorer i täljare och nämnare som har största möjliga gemensamma faktor för att spara både tid och arbete samt förenkla för er själva.